Volume Horaire : Cours : 30h ; TD : 48h

Langue : Français

Compétences :

Description :
Dans ce module, on apprend les méthodes d'algèbre linéaire (calculs, raisonnements), en restant le plus concret possible. On montre des applications en géométrie (dans le plan ou l'espace) ou en analyse (polynômes, suites) des outils introduits.Les espaces vectoriels étudiées sont Rn, l'espace des polynômes a coefficients réels et celui des suites réelles.

  •  Rappels sur les droites du plan  et les plans de l'espace : description paramétrique, vecteur normal, équation cartésienne.
  • Calculs vectoriels dans Rn (combinaisons linéaires).
  • Systèmes linéaires : forme échelonnée par ligne , résolution.
  • Sous-espace vectoriel engendré par une suite de vecteurs. Suite génératrice canonique. Sous-espaces vectoriels généraux de Rn. Système d'équations cartésiennes d'un sous-espace vectoriel, d'un sous-espace affine.
  • Exemples d'espaces vectoriels plus généraux (tous sous-espaces de l'espace des fonctions d'un ensemble dans R). Axiomes d'espace vectoriel.
  • Suites libres, liées. Bases. Coordonnées. Exemples de bases. Extraction d'une base a partir d'une suite génératrice quelconque. Compléter une suite (libre) en une suite génératrice (en une base).
  • Dimension (Rn, sous-espaces). Droites vectorielles, plans vectoriels. Rang d'une suite de vecteurs. Rang d'un système linéaire. Équations de compatibilité d'un système linéaire, application à la détermination d'un système d'équations cartésiennes d'un sous-espace vectoriel.
  • Croissance de la dimension par inclusion de sous-espaces, cas d'égalité. Intersection de sous-espaces vectoriels, somme directe. Somme de deux sous-espaces vectoriels. Formule pour la dimension d'une somme. Sous-espaces vectoriels supplémentaires. Base adaptée a une décomposition en sous-espaces vectoriels supplémentaires. Droites supplémentaires dans le plan, droite et plan supplémentaires dans l'espace.
  • Matrices : somme, produit. Écriture matricielle des systèmes linéaires. Application linéaire associée. Noyau ; lien entre les solutions de AX = Y et le noyau. Image et rang de A. Théorème du rang pour A. Recherche d'une base de l'image et simultanément d'une base du noyau.
  • Injectivité, surjectivité, bijectivité (interprétation en termes de l'équation AX = Y ). Composées de ces applications. Équivalence entre injectivité et ker (A) = {0}. Matrices inversibles. Méthode de calcul de l'inverse via les opérations du pivot. Cas des matrices carrées. Matrices de passage, changement de coordonnées. Équation analytique dans une base quelconque.
  • Projections, symétries. On montrera notamment que l'équation analytique se simplifie dans une base adaptée. Rotation dans le plan et l'espace.

Modalités de contrôle :
Contrôles réguliers et épreuve de synthèse.