Volume Horaire : Cours : 33h ; TD : 48h

Langue : Français

Compétences :

Description :
Ce module est commun à tous les étudiants du portail MPI:

  • Fonctions de R dans R, Domaine de définition. Fonctions usuelles, fonctions définies par morceaux. Composées de fonctions. 
  • Notion de fonction réciproque, puissances fractionnaires, fonctions tangente et arctangente.
  • Limite, continuité. Opérations algébriques sur les limites (énoncé), composition de limites. Limites à gauche, à droite, à l'infini. Continuité sur un intervalle. Règle de composition pour la continuité. Opérations algébriques pour la continuité. Fonctions continues sur un segment. Théorème des valeurs intermédiaires et théorème de Weierstrass (admis) et leurs applications.
  • Dérivabilité des fonctions de R dans R : définition par le taux d'accroissement. Equivalence avec l'existence d'un développement limité d'orde 1. Règles de composition pour la dérivabilité et la dérivée d'un produit. Fonctions de classe C1 sur un segment. Opérations, composition, dérivées des fonctions usuelles. Fonctions de classe C-infinies. Théorème des accroissements finis et théorème de Rolle. Points critiques, Tableau de variations.
  • Primitives, intégrales d'une fonction continue. On admet que toute fonction continue admet une primitive. Linéarité, relation de Chasles, positivité, inégalité triangulaire, sommes de Riemann, utilisation de l'inégalité des accroissements finis. Intégration par parties. Changement de variables. Utilisation de l'arctangente.
  • Formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2, Taylor-Young à l'ordre 2, critère d'extremum local pour les fonctions de classe C2. Fonctions convexes de classe C2, points d'inflexion.
  • Utilisation des complexes en analyse, fonctions a valeurs complexes, exponentielle complexe et composition.Exemples de calculs d'intégrales.
  • Équations différentielles du premier ordre. Variation de la constante. Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants.
  • Le plan et ses différents systèmes de coordonnées linéaires. Droites, vecteurs, repères, produit scalaire, distance. Transformations élémentaires. Nombres complexes en géométrie.
  • Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes. Exemples: droite, cercle, ellipses, graphes, reparamétrage ,vecteur vitesse, tangente en un point régulier, invariance au reparamétrage. Distance parcourue sur la courbe entre deux instants. Exemples de tracés, utilisation des symétries.
  • Fonctions de deux variables : Voisinage d'un point et ouverts du plan, fonctions continues, opérations, composition avec un arc paramétré ou des fonctions d'une variable. Lignes de niveau des fonctions affines et quadratiques. Différentiabilité en un point, vecteur gradient, dérivée d'une composition avec un arc paramétré, dérivées partielles, fonctions de classe C1, opérations, compositions. Travail d'une force dérivant d'un potentiel le long d'un chemin. Extrema, Points critiques.

Modalités de contrôle :
Contrôles réguliers et épreuve de synthèse.