Volume Horaire : Cours : 20h ; TD : 30h

Langue : Français

Compétences :
Dans ce module, on apprend les méthodes et les principaux résultats d'algèbre linéaire, en restant le plus concret possible.

Description :
Math153
1. Rappels sur les droites du plan R2 et les plans de l'espace R3 : description paramétrique, équation cartésienne.
2. Calculs vectoriels dans Rn (combinaisons linéaires).
3. Axiomes d'espace vectoriel. Quelques exemples d'espaces vectoriels.
4. Notion de sous-espaces vectoriel. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. Système d'équations cartésiennes d'un sous-espace vectoriel.
5. Familles libres, liées. Bases. Coordonnées. Base canonique, exemples d'autres bases. Extraction d'une base ?à partir d'une famille généŽratrice. Complétion d'une famille libre en une base.
6. Dimension (Rn, sous-espaces). Droites vectorielles, plans vectoriels.
7. Croissance de la dimension par inclusion de sous-espaces, cas d'égalité. Intersection de sous-espaces vectoriels. Somme (directe ou pas) de deux sous-espaces vectoriels. Formule pour la dimension d'une somme. Sous-espaces vectoriels supplémentaires, critère utilisant la dimension.
Base adaptée à une décomposition en sous-espaces vectoriels supplémentaires. Droites supplémentaires dans le plan, droite et plan supplémentaires dans l'espace.
8. Matrices : somme, produit. Ecriture matricielle des systèmes linéaires. Linéarité de l'application X donne AX. Noyau ; lien entre les solutions de AX = Y et le noyau. Image et rang de A. Théorème du rang.
9. Injectivité, surjectivité, bijectivité de f : X -> AX (interprétation en termes de l'équation AX =Y ). Composées de ces applications. Equivalence entre injectivité et nullité du noyau.
Matrices inversibles. Lorsque A est une matrice carrée : équivalence entre A inversible, f bijective, f injective, f surjective. Matrice de passage, changement de coordonnées. Equation analytique de f dans une base quelconque.
10. Projections, symétries. On montrera notamment que l'équation analytique se simplifie dans une base adaptée. Homothéties et rotations dans R2 ou R3. Similitudes directes planes.

Modalités de contrôle :
Contrôles réguliers et épreuve de synthèse.

Biographie, lectures recommandées :

Volume Horaire : Cours : 20h ; TD : 30h

Langue : Français

Compétences :
Dans ce module, on apprend les méthodes et les principaux résultats d'algèbre linéaire, en restant le plus concret possible.

Description :
Math153
1. Rappels sur les droites du plan R2 et les plans de l'espace R3 : description paramétrique, équation cartésienne.
2. Calculs vectoriels dans Rn (combinaisons linéaires).
3. Axiomes d'espace vectoriel. Quelques exemples d'espaces vectoriels.
4. Notion de sous-espaces vectoriel. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. Système d'équations cartésiennes d'un sous-espace vectoriel.
5. Familles libres, liées. Bases. Coordonnées. Base canonique, exemples d'autres bases. Extraction d'une base ?à partir d'une famille généŽratrice. Complétion d'une famille libre en une base.
6. Dimension (Rn, sous-espaces). Droites vectorielles, plans vectoriels.
7. Croissance de la dimension par inclusion de sous-espaces, cas d'égalité. Intersection de sous-espaces vectoriels. Somme (directe ou pas) de deux sous-espaces vectoriels. Formule pour la dimension d'une somme. Sous-espaces vectoriels supplémentaires, critère utilisant la dimension.
Base adaptée à une décomposition en sous-espaces vectoriels supplémentaires. Droites supplémentaires dans le plan, droite et plan supplémentaires dans l'espace.
8. Matrices : somme, produit. Ecriture matricielle des systèmes linéaires. Linéarité de l'application X donne AX. Noyau ; lien entre les solutions de AX = Y et le noyau. Image et rang de A. Théorème du rang.
9. Injectivité, surjectivité, bijectivité de f : X -> AX (interprétation en termes de l'équation AX =Y ). Composées de ces applications. Equivalence entre injectivité et nullité du noyau.
Matrices inversibles. Lorsque A est une matrice carrée : équivalence entre A inversible, f bijective, f injective, f surjective. Matrice de passage, changement de coordonnées. Equation analytique de f dans une base quelconque.
10. Projections, symétries. On montrera notamment que l'équation analytique se simplifie dans une base adaptée. Homothéties et rotations dans R2 ou R3. Similitudes directes planes.

Modalités de contrôle :
Contrôles réguliers et épreuve de synthèse.

Biographie, lectures recommandées :