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Algèbre et analyse 1 - Math201 (10 crédits)

Volume Horaire : Cours : 48h , TD : 24h
Description : Ce module permet d'approfondir les connaissances sur les suites et séries en particulier de fonctions:
  • Complétude de R : axiome borne supéprieure, suites croissantes majorées, axiome des segments emboités, suites de Cauchy.
  • Séries numériques, convergence, séries à termes positifs, critères de convergence pour les séries entières (d’Alembert et Cauchy).séries de Riemann,
  • Séries absolument convergentes, séries alternées.
  • Suites et séries de fonctions. Convergences simples et uniformes de suites et séries. Convergence en norme de séries de fonctions. Limite uniforme de fonctions continues. Passage à la limite et continuité, dérivabilité, intégration.
  • Séries entières (vues comme des fonctions de la variable réelle). Définition, rayon de convergence. Propriété de la somme dans l'intervalle de convergence. Rayon de convergence des dérivées et primitives. Critères de Cauchy et d’Alembert pour la détermination du rayon de convergence.
  • Opérations sur les séries entières (somme, produit, inverse) principalement sur des exemples. Séries entières comme des fonctions de la variable complexe (notions et exemples)
  • Formes multilinéaires alternées sur un espace vectoriel réel ou complexe de dimension n, déterminant d'un système de n vecteurs, d'un endomorphisme, d'une matrice. Règles de calcul et propriétés classiques. Applications à la détermination du rang, à la résolution d'un système linéaire,..
  • Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie. Polynôme caractéristique, valeurs propres, vecteurs propres. Polynôme d'endomorphisme, théorème de Cayley-Hamilton. Conditions suffisantes de diagonalisation. Sur des exemples, initiation aux réduites de Jordan. Exemples d'utilisation de la diagonalisation.
  • Produit scalaire sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Structure euclidienne. Construction de bases orthonormées. Projections et symétries orthogonales. Adjoint d'un endomorphisme, diagonalisation d'endomorphismes autoadjoints.
  • Isométries d'un espace euclidien. Matrices orthogonales. Module des valeurs propres. Description complète des isométries en dimension 2 et 3.


Modalités de contrôle : Session 1: F = 0.3 P+ 0.5 EE + 0.2 CC(TD)
Session 2: F = 1 EE
EE= Examen écrit