LICENCE (LMD) - Mathématiques



L3 MFA - Mathématiques Fondamentales et Appliquées

Objectifs et compétences

Cette spécialisation fournit aux étudiants une solide formation de base en Mathématiques, ainsi qu'une initiation au calcul formel et à l'utilisation de logiciels type SCILAB.
Par le biais d'options, les étudiants peuvent aussi acquérir des compétences en Informatique théorique. 
 
Après accord de l'enseignant responsable, les étudiants de la spécialisation MFA peuvent s'inscrire en parallèle au Magistère de Mathématiques.
 
Nous proposons également dans cette spécialisation un cursus adapté aux élèves ingénieurs (Supélec, Centrale ...) qui souhaitent suivre un complément de formation en mathématiques.
 
TEST MH
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L3 MINT - Mathématiques en Interaction

Objectifs et compétences

Outre les carrières de l'enseignement secondaire, au travers du CAPES, cette spécialisation a l'ambition de préparer les étudiants à une multiplicité de carrières dans lesquelles les mathématiques sont de plus en plus présentes.
La spécialisation MINT propose une formation en mathématiques axée sur ses interactions avec d'autres disciplines scientifiques, et initie les étudiants aux connaissances nécessaires pour la modélisation et l'étude mathématique des problèmes modélisés.
 
Le premier semestre (S5) est pour l'essentiel commun à tous les étudiants, qui se voient aussi proposer un avant-goût des 2 orientations possibles en S6 : enseignement ou modélisation.
 
Nous proposons aussi dans cette spécialisation un cursus adapté aux élèves d'HEC en vue de l'obtention d'un double diplôme HEC/Licence de Mathématiques.
 
 

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S5 - Semestre 5 MFA (Mathématiques Fondamentales et Appliquées)

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Tronc Commun

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Topologie et calcul différentiel - Math301 (7 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 33h ; TD : 42h

Compétences :

Description :

 
Partie 1 : Topologie dans les espaces métriques. On admet une construction de R.
  • Distance, ouverts et topologie, fermés, adhérence, intérieur, voisinages. Exemples : espaces vectoriels normés, produit fini d’espaces métriques, topologie induite.
  • Suites, limites, valeurs d’adhérence.
  • Applications continues. Limite uniforme d’applications continues. Homéomorphismes.
  • Complétude : R (admis) et Rn produit sont complets ; fermés d’un complet ; espaces fonctionnels (par ex. Cb(X,Y)). Théorème du point fixe de Banach.
  • Compacité. Bolzano-Weierstrass, Borel-Lebesgue, partie compacte vs fermée. Produit fini de compacts ; compacts de R, et de Rn produit. Image continue d’un compact, bijection continue entre compacts ; uniforme continuité. Un compact est complet.
  • Espaces vectoriels normés. Normes équivalentes. Exemples : Rn, divers espaces fonctionnels. Applications linéaires continues ; norme sur Lc(E,F). En dimension finie : normes équivalentes, applications linéaires continues ; théorème de compacité de Riesz.
  • Espaces de Banach. Exemples : espaces fonctionnels (Lc(E,F), espaces lp …)
  • Connexité. Image continue d’un connexe. Connexes de R, connexité par arcs ; exemple : ouverts connexes de Rn. Composantes connexes.
Partie 2 : Calcul différentiel. On se limitera à la dimension finie:
  • Différentielle, dérivées directionnelles et dérivées partielles. Exemples (applications linéaires, multilinéaires…).
  • Théorème des accroissements finis.
  • Fonctions de classe C1 : caractérisation ; suites et séries de fonctions C1 ; exemples (exponentielle matricielle).
  • Théorème d'inversion locale et théorème des fonctions implicites.
  • Applications aux courbes du plan et surfaces de l'espace ; espace vectoriel tangent
  • Fonctions de classe C2. Théorème de Schwarz. Formules de Taylor ; application aux problèmes d'extrémums (cas particulier de la dimension 2), aux fonctions convexes. Fonctions de classe Cp, et formules de Taylor.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. 

Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.
  • Session 1 : F = 0.4P+0.6E
  • Session 2 : F =1E

Biographie, lectures recommandées :

Intégration et analyse de Fourier - Math302 (7 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 33h ; TD : 42h

Compétences :

Description :


I. Espaces de fonctions classiques dans Rn : (1h30mn)

Fonctions C 0(Rn), C 1(Rn), C k(Rn), C ?(Rn). Continuité uniforme. Espaces de fonctions höldériennes Ck,a(Rn). Anticipation de liens avec le cours de calcul différentiel (e.g. énoncé sans démonstration du théorème des fonctions implicites restreint à R2).

II. Intégrale de Riemann : (3h)

Définition, propriétés, cas des fonctions continues par morceaux. Caractérisation des fonctions intégrables au sens de Riemann. Théorèmes de dérivation des intégrales à paramètres. Intégrale généralisée de Cauchy.

III. Mesure dans Rn : (5h)

Sous-ensembles de Rn. Dénombrabilité et non-dénombrabilité. Mesure extérieure. Ensembles mesurables. Mesure de Lebesgue. Fonctions mesurables.

IV. Intégration dans Rn : (7h)

Intégrale de Lebesgue. Théorèmes de convergence dominée, de Fatou et de Beppo-Levi. Théorèmes de continuité et dérivabilité des intégrales à paramètre. Espaces L1(Rn), L2(Rn), Lp(Rn), L? (Rn). Inégalités de Minkowski, Cauchy-Schwarz, Hölder. Complétude de L1(Rn) et des espaces Lp(Rn) (Riesz-Fischer) et extraction de sous-suites convergeant presque partout. Mesure produit. Théorème de Fubini.

V. Différentiation dans Rn : (3h)

Formule de changement de variables. Retour sur la dimension n = 1. Cas de la dimension n = 2. Géométrie des bi-vecteurs et des surfaces infinitésimales orientées. Cas de la dimension n = 3. Cas général.Théorème de différentiation de Lebesgue. Première approche des noyaux régularisants et de la convolution.Fonction maximale de Hardy-Littlewood (optionnel).

VI. Géométrie des espaces de Hilbert : (6h)

Espace l2(C) : structure hermitienne ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; complétude. Espaces de Hilbert abstraits : densité ; séparabilité ; totalité ; familles orthonormées ; bases hilbertiennes. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; meilleure approximation. Inégalité de Bessel ; convergence commutative ; décomposition selon une base hilbertienne ; identité de Plancherel ; identité de Parseval ; théorème d’isomorphie (non canonique) à l2 (Riesz-Fischer). Projection orthogonale sur un convexe fermé ; hyperplan de support ; supplémentaire orthogonal ; théorème de représentation de Riesz.

VII. Séries de Fourier : (6h)
 
Fonctions 2-périodiques sur T = R/2 ?Z. Retour sur la hiérarchie d’espaces fonctionnels C 1(T) ,C 0(T) , L? (T) , Lq(T) , Lp(T) , L1(T). Coefficients de Fourier des fonctions L1(T) ; série de Fourier ; lemme de Riemann-Lebesgue ; théorème de Dirichlet ; test de Dini ; théorème de Jordan. Convergence en norme L2 des séries de Fourier ; Bessel-Parseval-Plancherel.Produit de convolution sur T; noyau de Dirichlet ; noyau de Fejér ; théorème de Fejér pour les fonctions continues sur T; totalité de la famille des exponentielles exp(ik ?). Principe de localisation ; constantes de Lebesgue. Convergence normale de séries de Fourier ; théorème de Bernstein. Contre-exemple de du Bois-Reymond : fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.

VIII. Convolution et régularisation dans Rn : (5h)

Retour sur les espaces Lp : inégalités de Minkowski et de Hölder. Continuité des translations dans Lp. Produit de convolution . Support. Résultats fondamentaux : L1* L1 dans L1 ; L1* Lp dans Lp ; Lp * Lp' dans C0unift ; inégalité deYoung (optionnel). Non-existence d’une unité pour * ; approximations de l’unité ; convergence en norme C0et en norme Lp vers l’identité. Fonctions C? à support compact ; fonctions plateau ; densité de Cc?dans Lp(Rd).

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.

Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.
  • Session 1 : F = 0.4P+0.6E
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

Algèbre 1 - Math303 (7 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 33h ; TD : 42h

Compétences :

Description :

  • Division euclidienne, anneaux Z et Z/nZ (1-2 cours)
Ensembles, applications, relations et classes d'équivalences. Entiers naturels (construction de Z par quotient), division euclidienne, nombres premiers (existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers : preuve de Zermelo par récurrence).Groupes, anneaux, corps ; sous-groupes, sous-groupes de Z. Morphismes, congruences, l'anneau quotient Z/nZ, cas où n est premier, sous-groupes de Z/nZ; construction du corps à 4 éléments F4 avec les tables pour + et x
  • Algèbre linéaire, dualité (2 cours)
Sur un corps de base k quelconque (typiquement R, C, Z/pZ). Rappels : applications et formes linéaires (définition), image et noyau, rang. Tout ce qui était connu avec R reste vrai sur un corps quelconque.Formes linéaires, dualité : dual en dimension finie, bidual en dimension finie, base antéduale; orthogonalité pour le dual, équations d'un sous-espace vectoriel en dimension finie, hyperplan et formes linéaires.Application transposée : définition, interprétation matricielle en dimension finie.
  • Formes sesquilinéaires (3-4 cours)
Formes bilinéaires symétriques, lien avec les formes quadratiques en caractéristique différente de 2. On se limitera à ce cas dans la suite.Orthogonalité, noyau, rang, forme non dégénérée, vecteurs isotropes. Propriétés usuelles des orthogonaux ; en particulier, en dimension finie, F est en somme directe avec son orthogonal ssi la forme est non dégénérée sur F ; (et donc, si x n'est pas isotrope,...)Existence de bases orthogonales. Réduction de Gauss. Classification des formes quadratiques sur C (ou sur un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2). Classification sur R : formes définies positives ou négatives, loi de Sylvester. Le cas défini positif : norme, projection orthogonale, orthogonalisation de Gram-Schmidt.Le cas hermitien sur C.Les groupes orthogonaux (essentiellement sur R) et unitaires. Adjoint d'un endomorphisme. Réduction des endomorphismes auto-adjoints (resp. hermitiens ; et normaux si le temps le permet).Inégalité de Schwarz.
 
  • Groupes finis (5 cours)
Arithmétique sur Z et Z/nZ: Divisibilité, pgcd, ppcm, Algorithme d'Euclide (relation de Bézout), lemme Chinois, résolution de l'équation diophantienne ax+by=c, systèmes de congruences.Quotient par un sous-groupe distingué, centre, (groupe des commutateurs).Application de la notion de quotient : espaces vectoriels quotients, dimension de E/F. Factorisation canonique d'une application linéaire. Application : théorème du rang.Groupes opérant sur un ensemble, formule de classes ; le centre d'un p-groupe est nontrivial. Sous-groupes finis de O2(R). (Selon le temps, sous-groupes finis de SO3(R)).Théorèmes de Sylow.Groupe symétrique (décomposition en produit de cycles à support disjoints, systèmes degénérateurs), morphisme signature, groupe alterné. Application : construction dudéterminant, det(A)=det( t A).Groupe linéaire sur un corps quelconque : générateurs (dilatations, transvections) de GLn,centre de GLn et de SLn. Opérations sur les lignes et colonnes, décomposition LU.Si le temps le permet : produit semi-direct.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.

Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.
  • Session 1 : F = 0.4P+0.6E
  • Session 2 : F =1E

Biographie, lectures recommandées :

Lang - Anglais 4b (2 crédits)

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Volume Horaire : TD : 25h

Description :

ANGLAIS DE SPÉCIALITÉ. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais3 et le travail sur la langue de spécialité (scientifique et/ou à visée professionnelle) : on prolongera l'approche actionnelle dans les 5 compétences et on s'attachera à la préparation de l'étudiant aux différentes tâches liées à son activité scientifique telles que la rédaction d'un compte rendu d'expérience, le commentaire d'un graphique, la desciption d'un processus mais aussi à son insertion dans le monde professionnel : rédaction d'un CV ou d'une lettre de motivation en vue d'un stage... On proposera une initiation au débat ainsi qu'un entraînement à la certification CLES 2. Le travail se fera par groupes de niveau.

1 UE parmi 3 S5

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Introduction à la combinatoire algébrique - Math314 (5 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 25h ; TD : 25h

Compétences :

Description :

1 Bases du dénombrement

  • Définition des objets fondamentaux : factorielle, coefficients binomiaux, coefficients multinomiaux, arrangements.
  • Le groupe symétrique.
  • Dénombrement des bijections, des injections, des surjections entre deux ensembles finis.
  • Preuves bijectives.
2 Séries génératrices
  • Quatre structures d’algèbres sur les suites : structure produit, structure polynomiale, structure factorielle, structure de Dirichlet.
  • Séries 1/(1 - x), exp(x), ?(s) formelles.
  • Formules binomiales : binôme de Pascal, convolution de Vandermonde.
  • Trigonométrie combinatoire : les coefficients du développement de cos, sin, ch, sh et tan en tant qu’invariants combinatoires.
3 Théorie élémentaire des graphes
  • Définition des graphes simples finis non-orientés.
  • Chemins, composantes connexes, cycles, arbres, graphes des arêtes.
  • Graphes de Cayley, graphes de Kneser.
4 Morphismes de graphes
  • Morphismes, isomorphismes, automorphismes des graphes.
  • Le groupe diédral comme groupe des automorphismes des cycles.
  • Action simplement transitive sur les graphes de Cayley.
5 Théorie algébrique des graphes
  • Espace vectoriel et endomorphisme associé à un graphe.
  • Lien avec les parcours.
  • Spectre des graphes classiques et des graphes de Cayley commutatifs.
6 Combinatoire algébrique des graphes
  • Approche spectrale des parcours sur les cycles, les chemins, les hypercubes.
  • Principe de réflexion, série génératrice des nombres de Catalan.
  • Laplacienne. Théorème arbre-matrice.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.

  • Session 1 : F =0.4P+0.6E
  • Session 2 : F =1E

Biographie, lectures recommandées :

Mathématiques et Biologie - Biol363 (5 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 40h ; TP : 10h

Compétences :

Description :
Notions fondamentales en biologie (6h30)

  • L’information génétique et son flux
  • Mécanismes et théorie de l’évolution
  • Quantification de mécanismes élémentaires
Notions de base en probabilités (3h15)
  • Notion de probabilité.
  • Probabilités conditionnelles. Le théorème de Bayes.
Le métabolisme et son contrôle. Applications en génétique (6h30)
  • Notion de métabolisme. Les grandes fonctions.
  • Théorie du contrôle métabolique : coefficients de contrôle et d'élasticité, coefficient de réponse.
  • Les flux métaboliques comme caractères quantitatifs modèles : relation génotype / phénotype, dominance, épistasie et neutralité.
Analyse de séquences. Principe, algorithmique et phylogénie (6h30)
  • Les méthodes de production de séquences. Identité et similarité de séquences. Matrices de substitution.
  • Algorithmes d'alignement de paires de séquences (programmation dynamique).
  • Recherche de séquences dans les banques de données (algorithme de BLAST).
  • Algorithmes d'alignements multiples. Notions d'homologie, d'orthologie et de paralogie.
  • Méthodes et algorithmes pour l'analyse phylogénétique.
Analyse de stabilité des systèmes dynamiques : méthode des modes normaux (3h15)
  • Stabilité locale d’un état stationnaire dans un système à une variable : approches graphique et algébrique.
  • Systèmes à deux variables : plan de phase, isoclines nulles, trajectoires, cycles limites et états stationnaires.
  • Linéarisation d’un système au voisinage de son état stationnaire. Stabilité locale, matrice jacobienne et équation caractéristique : points de selle, foyers et nœuds stables / instables.
  • Bifurcations et leurs principaux types.
Systèmes dynamiques non linéaires : multistabilité, rythmes et oscillations en biologie (9h45)
  • Mutistabilité : notions de base en dynamique. Hystérèse et exemple de l’opéron lactose. Dynamique de déclenchement et de propagation des maladies à prions – régulation des facteurs de transcription et héritabilité des caractères épigénétiques.
  • Instabilités, rythmes et oscillations : système proies-prédateurs – le modèle de Lotka-Volterra et ses développements. Oscillations glycolytiques. Excitabilité et calcium : vagues morphogénétiques. Motifs de Turing : la diffusion créatrice, base de la morphogénèse.
  • Rythmes circadiens : modélisation, rythme autonome et rythme d’entraînement. Forçage et synchronisation.
Evolution, paysages adaptatifs et stochasticité (6h30)
  • Eléments aléatoires dans les mécanismes évolutifs. Exemple de la dérive génétique.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral, TER = travail d’étude et de recherche.. Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.

  • Session 1 : F =0.67E+0.33TER
  • Session 2 : F =0.67O+0.33TER

Biographie, lectures recommandées :

Algorithmique - Info318 (5 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 32h

Compétences :

Description :

 
Programmation :
  • Ecriture de petits programmes sous forme de pseudo-code.
  • Techniques de programmation. Récursivité.
Algorithmique :
  • Notions générales. Algorithmes. Complexité (Estimations et calculs fins)
  • Listes (à la caml, proches également des listes chaînées en impératif) Liste tableaux
  • Tris simples, tri rapide, tri par tas
  • Arbres, arbres binaires de recherche
  • Introduction à l'algorithmique sur les graphes
  • Programmation dynamique
Théorie de la complexité :
  • Machines de Turing déterministes. Indécidabilité - Ensembles décidables et récursivement énumérables.
  • Machines de Turing non déterministes. NP-complétude. Conjecture P <> NP.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral. Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.

  • Session 1 : F = 0.4P + 0.6E
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

S6 - Semestre 6 MFA (Mathématiques Fondamentales et Appliquées)

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Tronc Commun

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Equations différentielles - Math304 (5 crédits)

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Volume Horaire : Cours : 22h ; TD : 30h

Compétences :

Description :

 
Problème de Cauchy, solutions globales, solutions maximales ; équations d’ordre n, équations autonomes ; se ramener à ordre 1/autonome
 
Théorème de Cauchy-Lipschitz. Caractérisation des solutions maximales
 
Lemme de Gronwall. Applications : solutions globales pour les équations linéaires, ou à croissance sous-linéaire, dépendance continue des solutions par rapport à la condition initiale.
 
Étude qualitative des équations scalaires. Régionnement. Comparaison avec une sur ou une sous-solution. Existence de solutions dans un (anti)-entonnoir.
 
Équations différentielles linéaires. Rappel sur les équations autonomes ; portraits de phase en dimension 2. Méthode de variation de la constante ; résolvante.
 
Étude qualitative des équations autonomes. Orbites, points stationnaires, portrait de phase, isoclines. Étude au voisinage d’un point singulier : linéarisé, théorème de Lyapunov.
 
Étude en dimension 2 au voisinage d’un col.
 
Étude au voisinage d’un point régulier (admis).
 
Méthode d’Euler.

Modalités de contrôle :
F= note finale, E= Examen final, P = Partiel, CC = Contrôle Continu, O = Oral, TP = Travaux Pratiques. 

Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du contrôle continu.
  • Session 1 : F =0.4P+0.6E
  • Session 2 : F =1E

Biographie, lectures recommandées :

Algèbre 2 - Math305 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 20h ; TD : 30h

Compétences :

Description :

Groupes abéliens de type fini (2-3 cours)

  • Groupes de type fini, groupes abéliens de type fini ; théorème de structure des groupes abéliens de type fini (énoncé et preuve), théorème de la base adaptée (groupes abéliens libres de rang fini).
Anneaux (2 cours)
  • L'idée est ici d'introduire les choses nécessaires pour la partie suivante concernant la réduction d'endomorphismes. Anneaux, idéaux, éléments irréductibles (définition), anneaux quotients (bref retour sur Z/pZ), caractéristique d'un corps, anneaux euclidiens (exemples : Z et k[X] cf. ci-après), anneaux principaux (euclidien implique principal, analogie avec la détermination des sous-groupes de Z), anneaux de polynômes (division euclidienne dans A[X], k est un corps ssi k[X] est principal).
Réduction d'endomorphismes (7-8 cours)
  • Diagonalisation, trigonalisation, polynômes d'endomorphismes, polynôme minimal, Cayley Hamilton.
  • Invariants de similitudes (sur un corps quelconque) : sous-espaces cycliques, réduction de Frobenius [mentionner à titre informel, mais sans aucune démonstration l'analogie avec le théorème de structures des groupes abéliens de type fini], espaces caractéristiques, réduction de Jordan (sur un corps algébriquement clos [comme conséquence de la réduction de Frobenius dans le cas nilpotent]). Dans le cas nilpotent une possibilité est d'introduire le formalisme des tableaux de Young.
  • Exponentielle de matrices et applications aux équations différentielles linéaires.

Modalités de contrôle :
F= note finale, E= Examen final, P = Partiel, CC = Contrôle Continu, O = Oral, TP = Travaux Pratiques.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du contrôle continu.

  • Session 1 : F = 0.4P+0.6E
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

Théorie de la mesure et probabilités - Math306 (7 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 33h ; TD : 42h

Compétences :

Description :

 
1. Espace mesurable. Mesure positive. Fonction mesurable. Intégration par rapport à une mesure. Convergence dominée. Intégrale dépendant d’un paramètre.
 
2. Tribu engendrée. Lemme de classe monotone. Caractérisation des mesures. Cas de la mesure de Lebesgue. Théorème de représentation de Riesz. Espaces produits. Théorème de Fubini.
 
3. Espaces Lp. Inégalité de Hölder. Théorème de Riesz. Théorème de Radon Nikodym.
 
 
4. Espace probabilisé. Variable aléatoire. Loi de probabilité. Jeu de pile ou face.
Lois discrètes. Densité de probabilité. Exemples de lois : loi binomiale, loi de Poisson, loi exponentielle, loi normale.
Espérance. Formule de transfert. Variance, inégalité de Bienaymé-Tchebycheff.
 
5. Indépendance.
Probabilité conditionnelle. Formule des probabilités composées. Indépendance d’événements, de variables aléatoires. Produit tensoriel de lois de probabilité, de densités de probabilité. Somme de variables aléatoires indépendantes. Produit de convolution de lois de probabilité de densités de probabilité.
 
6. Convergence.
Convergence en probabilité. Convergence presque sûre. Lemme de Borel-Cantelli. Lois des grands nombres. Convergence en loi. Caractérisation. Cas des lois discrètes et des lois sur R.
 
7. Fonction caractéristique
Transformée de Fourier d’une loi de probabilité et fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Injectivité de la transformée de Fourier. Formule d’inversion dans le cas où la transformée de Fourier est intégrable. Théorème de Paul-Lévy. Théorème central limite.
 
8. Vecteurs gaussiens
Définition par dualité. Transformation linéaire d’un vecteur gaussien. Construction des lois gaussiennes, caractérisation de leurs transformées de Fourier. Cas où la matrice de covariance est inversible. Loi du chi-deux, théorème de Cochran. Théorème central limite vectoriel.
 
9. Eléments de statistique
Estimation d’un paramètre. Estimation empirique. Maximum de vraisemblance. Notion d’intervalle de confiance, d’intervalle de confiance asymptotique. Utilisation du théorème central limite. Test du chi-deux.
 
10. Chaines de Markov (espace d’état fini)
Définition. Exemples. Matrice de transition. Irréductibilité, périodicité. Loi stationnaire. Théorème d’unicité. Théorie de Perron-Froebenius

Modalités de contrôle :
F= note finale, E= Examen final, P = Partiel, CC = Contrôle Continu, O = Oral, TP = Travaux Pratiques.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du contrôle continu.

  • Session 1 : F = 0.4P+0.6E
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

Fonctions holomorphes - Math308 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 24h ; TD : 30h

Compétences :

Description :

 
Équations de Cauchy-Riemann. Intégrale curviligne, formule de Cauchy.
 
Développement en série entière, inégalités de Cauchy, lemme de Schwarz.
 
Zéros, structure locale, singularités isolées d'une fonction holomorphe, fonctions méromorphes.
 
Indice d'un circuit, théorème des résidus, généralisation de la formule de Cauchy, notion de domaine simplement connexe. Calculs d'intégrale par la méthode des résidus.
 
Suites et séries de fonctions holomorphes.
 
Produits infinis de fonctions holomorphes.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.

Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.
  • Session 1 : F = 0.4P + 0.6E
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

Modélisation en analyse et probabilités - Math322 (2 crédits)

X

Volume Horaire : TP : 25h

Description :
Initiation, en utilisant le logiciel Scilab, à la modélisation :

  • En analyse : Résolution d’équations f(x)=0. Intégration numérique. Méthodes numériques pour les équations différentielles.
  • En probabilités : Introduction aux simulations de phénomènes aléatoires. Illustration des théorèmes de convergence. Simulation de marches aléatoires et de sondages. Simulation de Chaînes de Markov

Modalités de contrôle :
F= note finale, E= Examen final, P = Partiel, CC = Contrôle Continu, O = Oral, TP = Travaux Pratiques.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du contrôle continu.

  • Session 1 : F = 0.4P(TP) + 0.6E(TP)
  • Session 2 : F = 1E(TP)

Biographie, lectures recommandées :

Option pour 5 ECTS

X

Informatique théorique (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 16h ; TD : 29h ; Travail perso : 5h

Compétences :
Notions de la théorie d'informatique fondamentale.

Description :

  • Théorie de la complexité : Machines de Turing, déterministes ou non, variantes, Indécidabilité,
    semi- décidabilité
  • Classes de complexité, P, NP, NP-complétude, conjecture P <> NP ? Introduction à quelques
    notions avancées (Hiérarchies, Savitch, (N)L, PSPACE)

Modalités de contrôle :
40 % CC et 60 % ET.

Responsable :
M. LAURENT ROSAZ - laurent.rosaz@u-psud.fr

Biographie, lectures recommandées :

Math307 + 1 Option

X

Algèbre effective - Math307 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TP : 12h

Compétences :

Description :
Les séances sont partagées entre un exposé des notions théoriques et une large partie devant ordinateur (logiciel SAGE).

  • Représentation et manipulation de structures algébriques (entiers, polynômes, Z/nZ, corps finis Fp) : addition, multiplication, division.
  • Evaluation de la complexité d'un algorithme sur des exemples.
  • Quelques algorithmes algébriques élémentaires : par exemple exponentiation (n -> an, pour n entier), algorithme d'Euclide étendu.
  • Arithmétique des anneaux Z/nZ et des corps Fp (polynômes sur Fp, extraction de racines carrées, …).
  • Cryptographie RSA, problème de la factorisation efficace d'entiers.
  • Résultants et élimination, applications géométriques et algébriques.
  • Exemples et applications de résolutions de systèmes linéaires.

Modalités de contrôle :
F= note finale, E= Examen final, P = Partiel, CC = Contrôle Continu, O = Oral, TP = Travaux Pratiques.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du contrôle continu.

  • Session 1 : F =0.5TP + 0.5E (E=examen sur machine)
  • Session 2 : F =1E (E=examen sur machine)

Biographie, lectures recommandées :

Projet - Math320 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Travail perso : 24h

Compétences :

Description :
Le Travail personnel encadré en mathématique permet d'aborder et d'approfondir un thème de Mathématiques du niveau de la licence. Ce travail est encadré par un enseignant chercheur ou un chercheur du Département de Mathématiques. Le projet doit mener à une compréhension du thème proposé, compréhension attestée par la rédaction d'un mémoire et une courte soutenance orale.

Modalités de contrôle :
F= note finale, E= Examen final, P = Partiel, CC = Contrôle Continu, O = Oral, TP = Travaux Pratiques.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du contrôle continu.

  • Session 1 : F = 1E
  • Session 2 : F =

Biographie, lectures recommandées :

Courbes et surfaces - Math213 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TD : 12h

Compétences :

Description :

  • Courbes paramétrées : tangente, longueur d'un arc de courbe, abscisse curviligne, repère de Serre-Frenet, courbure , torsion.
  • Enveloppe d'une famille de droites de R2, développées, développantes, caustiques.
  • Coniques définies par foyers et directrices, lois de Kepler.
  • Surfaces dans R3 : coordonnées locales, plan tangent, normale, courbure de Gauss. Quelques exemples d'étude de courbes tracées sur une surface.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.

  • Session 1 : F = 0.7E + 0.3TD
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

Analyse hilbertienne - Math332 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TD : 12h

Compétences :

Se familiariser avec la notion d'espace de Hilbert qui généralise celle d'espace euclidien en dimension infinie
 

Description :

- Rappels sur les espaces vectoriels normés et de Banach

- Espace préhilbertien, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, projection sur un convexe complet

- Espace de Hilbert, dual d'un espace de Hilbert, théorème de Riesz, base hilbertienne, opérateur adjoint

 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Stage en établissement scolaire - Educ301 (2 crédits)

X

S5 - Semestre 5 MINT (Mathématiques en Interaction)

X

Tronc Commun

X

Option d'orientation Modélisation ou Enseignement

X

Option

X

Histoire des mathématiques - Hist302 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TD : 13h

Compétences :

Description :
Ce module a pour but de donner à des étudiants en mathématiques l'occasion d'acquérir des bases de culture générale en histoire des mathématiques et de s'initier à la recherche critique de documents et d'informations (en particulier en ligne) dans ce domaine. Construit à partir des programmes de mathématiques du secondaire ce module est particulièrement adapté à des étudiants qui envisageraient les métiers de l'enseignement.

Biographie, lectures recommandées :

Mathématiques et Biologie - Biol363 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TD : 12h

Calcul différentiel et optimisation - Math309 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h

Compétences :
Manipuler les fonctions de plusieurs variables, comprendre la notion de différentielle, connaître et comprendre les théorèmes fondamentaux (inversion locale, fonctions implicites), acquérir les outils de base pour l’étude de problèmes d’optimisation.

Description :
- Rappels et pré-requis :
Produits scalaires, normes et distances, suites dans R^n, R^n complet ; notions topologiques, ouverts, fermés, intérieur, frontière, adhérence, compacité ; limites et continuité de fonctions définies dans un espace vectoriel normé ; équivalence des normes dans R^n.

- Différentiabilité :
Fonctions différentiables, différentielle, fonctions de classe C¹,différentielle d’ordre 2, dérivées d'ordre supérieure, fonctions de classe C^k, formules de Taylor.

- Théorème de dérivation des fonctions composées.
- Théorème des accroissements finis.
- Théorème d’inversion locale.
- Théorème des fonctions implicites.

- Optimisation :
Calcul d’extrema ; fonctions convexes, extrema de fonctions convexes ; extrema liés et optimisation sous contraintes, multiplicateurs de Lagrange ; méthode de Newton ; exemples : méthode des moindres carrées, introduction à l’optimisation linéaire.

 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu, partiel et examen final.

Biographie, lectures recommandées : S. Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et  équations différentielles.
J. Vauthier et M. Maumy, Calcul différentiel et intégral.

Intégration - Math310 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h

Description :

  • Intégrale de Riemann sur un intervalle fermé borné de R : construction, limitations.
  • Intégrale de Lebesgue sur R, Théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée, exemples de fonctions intégrables, Intégrales dépendant d'un paramètre.
  • Intégrale de Lebesgue sur R^n (généralisation de la construction précédente, Théorème de Fubini. Convolution.
  • Séries de Fourier, formule de Parseval.
  • Enoncé du Théorème de changement de variables, illustration sur des exemples.

Modalités de contrôle :
Contrôle continu, partiel et examen

Probabilités - Math316 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h

Compétences :
Maîtriser les outils mathématiques permettant de traiter un grand nombre de problèmes du domaine des probabilités.
Savoir traduire un problème concret du domaine des probabilités en langage mathématique.

Description :

  • vocabulaire probabiliste : variables aléatoires, événements, indépendance
  • lois de probabilités discrètes et continues et leurs représentations
  • espérance, variance, moments
  • les principales lois de probabilités : Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, uniforme, gaussienne, exponentielle, gamma...
  • transformations de variables aléatoires
  • couples et vecteurs aléatoires, corrélation et indépendance
  • suites de variables aléatoires, convergences
  • loi des grands nombres
  • théorème central limite
  • vecteurs gaussien

Modalités de contrôle :
Contrôme continu, partiel et examen

Responsable :
Mme. MARIE-ANNE POURSAT - marie-anne.poursat@u-psud.fr

Biographie, lectures recommandées : Ross - Initiation aux probabilités, Presses polytechniques et universitaires romandes
Papoulis -Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGraw-Hill
Durrett -Elementary Probability for Applications, Cambridge University Press

 

Résolution numérique des équations différentielles - Math318 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 10h ; TD : 10h ; TP : 21h

Description :

  • Pré-requis : Topologie de R^N, compacité, application contractante
     
  • Théorie des Equations différentielles ordinaires (EDO)
Théorème de Cauchy-Lipschitz, Théorème des bouts, Continuité de la solution vis-à-vis des paramètres
Exercices sur des résolutions d’EDO, calcul de temps d’existence, symétrie de solutions
  • Schémas numériques pour les EDOs
Euler explicite
Etude des méthodes à un pas, notion de convergence (consistance, stabilité et convergence, ordre des schémas)
Euler implicite, Crank-Nicolson, Heun, RK4
Schémas multi-pas
  • Travaux dirigés sur ordinateurs avec programmation python

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen

Lang - Anglais 4b (2 crédits)

X

Volume Horaire : TD : 25h

Description :

ANGLAIS DE SPÉCIALITÉ. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais3 et le travail sur la langue de spécialité (scientifique et/ou à visée professionnelle) : on prolongera l'approche actionnelle dans les 5 compétences et on s'attachera à la préparation de l'étudiant aux différentes tâches liées à son activité scientifique telles que la rédaction d'un compte rendu d'expérience, le commentaire d'un graphique, la desciption d'un processus mais aussi à son insertion dans le monde professionnel : rédaction d'un CV ou d'une lettre de motivation en vue d'un stage... On proposera une initiation au débat ainsi qu'un entraînement à la certification CLES 2. Le travail se fera par groupes de niveau.

Programmation et algorithmique - Math312 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TP : 30h

Description :
Représentation des nombres (entiers flottants, erreurs d'arrondi). Principe de récurrence. Programmation dynamique. Tris, arbres, tas. Mise en pratique en C++.

Algèbre générale - Math313 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h

Description :

Constructions de N et Z, récurrence; Arithmétique de Z : divisibilité, PGCD, théorèmes de Bézout, des restes chinois; Notions de théorie des groupes, groupes symétriques.

S6 - Semestre 6 MINT Modélisation

X

Tronc Commun

X

Option à 2,5 ECTS

X

Calcul matriciel numérique - Math311 (7 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h ; TP : 22h

Compétences :
Acquérir les outils mathématiques d’analyse numérique matricielle notamment les différents algorithmes de décompositions de matrices, les méthodes de résolution de systèmes linéaires et de problèmes aux valeurs propres.
Programmation python pour implémenter les algorithmes de décomposition et d'étude de la matrice du Laplacien.

Description :
Différentes méthodes de résolution de systèmes linéaires seront étudiées : les méthodes directes par décomposition LU et QR, les méthodes itératives de type Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation.
Différentes méthodes de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres seront également étudiées, notamment dans le cas particulier des matrices symétriques.
La notion de conditionnement sera évoquée afin de comprendre le comportement des erreurs numériques.
Toutes ces notions seront appliquées en particulier à la matrice obtenue par discrétisation de l’opérateur Laplacien en dimension un par la méthode des différences finies.
Les travaux dirigés sur ordinateurs se font avec le langage python.

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen

Inférence statistique - Math330 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h

Compétences :
Acquérir les notions fondamentales de l’inférence statistique : estimation dans les modèles paramétriques, tests statistiques.
Savoir estimer les paramètres d’une loi, étudier les propriétés mathématiques d’un estimateur, construire des intervalles de confiance.
Savoir traduire une question  simple en un problème de test et y répondre par la construction d’un test approprié.

 

Description :

  • Notion d’échantillon,  estimateurs, méthode empirique.
  • Modèles paramétriques, méthode des moments, méthode du maximum de vraisemblance.
  • Critères de comparaison d’estimateurs, loi des estimateurs, intervalles de confiance.
  • Convergence des estimateurs, étude asymptotique.
  • Tests d’hypothèses : vocabulaire et démarche, lemme de Neyman-Pearson, construction d’un test.
  • Tests dans le modèle gaussien.
  • Tests asymptotiques.
  • Tests du chi2.


 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Responsable :
Mme. MARIE-ANNE POURSAT - marie-anne.poursat@u-psud.fr

Biographie, lectures recommandées : Daudin, Robin et Vuillet. Statistique inférentielle, PUR.
Lejeune. Statistique : la théorie et ses applications, Springer.
Saporta. Probabilités, analyses de données et statistiques, ed. Technip.
Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis, 3rd edition

Interprétation statistique des données - Math331 (2 crédits)

X

Volume Horaire : TP : 24h

Compétences :
Visualiser, modéliser, ajuster et interpréter des données réelles ou simulées.
Programmation avec R.
 

Description :
Le programme suivant est mis-en-oeuvre avec le logiciel R :

Représentations graphiques des données, visualisation en dimension 1 et 2.
Estimation d’une densité, d’une fonction de répartition.
Simulation de variables aléatoires, illustration du comportement asymptotique de statistiques.
Méthode de ré-échantillonage bootstrap, interprétation des intervalles de confiance.
Ajustement d’une loi à des données, tests d’ajustement.
Liaison entre deux variables : régression linéaire simple, tests fondés sur le critère du chi2.


 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Responsable :
Mme. MARIE-ANNE POURSAT - marie-anne.poursat@u-psud.fr

Biographie, lectures recommandées : Statistiques avec R, Cornillon et autres, PUR

Algorithmes d'optimisation - Math315 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TP : 24h

Description :
Optimisation convexe en dimension finie, en privilégiant des algorithmes d'ordre 1 simples à  
programmer; applications à des problèmes concrets. Les travaux dirigés se font en langage python.

Thèmes abordés :
- Optimisation convexe lisse sans contrainte
- Optimisation convexe non-lisse par régularisation
- Optimisation avec contrainte: Algorithme de gradient projeté
- Dualité convexe
- Algorithme proximal pour la somme de fonctionnelles convexes
- Algorithme de Dykstra (projection sur une intersection de convexes)
- Algorithmes primaux-duaux
 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Introduction aux EDP et schémas numériques - Math325 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TP : 30h

Description :

Introduction aux méthodes numériques pour la résolution approchée d'EDP (Laplacien 2D).
Méthodes avancées pour la résolution de systèmes linéaires.
TP en C++.

Projet en modélisation - Math326 (2 crédits)

X

Volume Horaire : TP : 15h ; Travail perso : 12h

Compétences :

Description :
Les étudiants travailleront par binômes sur un sujet proposé par les enseignants, et comportant un volet modélisation et un volet calcul scientifique. Les sujets porteront sur un problème issu du domaine de la biologie, de la physique, de la mécanique..., pouvant se mettre sous forme mathématique et qui mène à la résolution numérique d'un système d'équations (linéaires, non linéaires, différentielles, aux dérivées partielles...). Les étudiants seront encadrés par les enseignants lors de 6 séances de 2h en salle machine, et devront travailler le reste du temps de façon autonome. Ils devront remettre un rapport et présenter leur travail lors d'une soutenance devant un jury composé d'enseignants. Le jury évaluera la compréhension globale du problème, le choix et la présentation des méthodes numériques utilisées, ainsi que l'optimisation dans la programmation, la visualisation et interprétation des résultats, et la présentation orale du travail effectué.

Modalités de contrôle :
Contrôle continu, examen comprenant une soutenance orale et un rapport écrit.

Analyse hilbertienne - Math332 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TD : 12h

Compétences :

Se familiariser avec la notion d'espace de Hilbert qui généralise celle d'espace euclidien en dimension infinie
 

Description :

- Rappels sur les espaces vectoriels normés et de Banach

- Espace préhilbertien, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, projection sur un convexe complet

- Espace de Hilbert, dual d'un espace de Hilbert, théorème de Riesz, base hilbertienne, opérateur adjoint

 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Courbes et surfaces - Math213 (2 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 12h ; TD : 12h

Compétences :

Description :

  • Courbes paramétrées : tangente, longueur d'un arc de courbe, abscisse curviligne, repère de Serre-Frenet, courbure , torsion.
  • Enveloppe d'une famille de droites de R2, développées, développantes, caustiques.
  • Coniques définies par foyers et directrices, lois de Kepler.
  • Surfaces dans R3 : coordonnées locales, plan tangent, normale, courbure de Gauss. Quelques exemples d'étude de courbes tracées sur une surface.

Modalités de contrôle :
F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.

  • Session 1 : F = 0.7E + 0.3TD
  • Session 2 : F = 1E

Biographie, lectures recommandées :

Stage (2 crédits)

X

S6 - Semestre 6 MINT Enseignement

X

Calcul matriciel numérique - Math311 (7 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h ; TP : 22h

Compétences :
Acquérir les outils mathématiques d’analyse numérique matricielle notamment les différents algorithmes de décompositions de matrices, les méthodes de résolution de systèmes linéaires et de problèmes aux valeurs propres.
Programmation python pour implémenter les algorithmes de décomposition et d'étude de la matrice du Laplacien.

Description :
Différentes méthodes de résolution de systèmes linéaires seront étudiées : les méthodes directes par décomposition LU et QR, les méthodes itératives de type Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation.
Différentes méthodes de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres seront également étudiées, notamment dans le cas particulier des matrices symétriques.
La notion de conditionnement sera évoquée afin de comprendre le comportement des erreurs numériques.
Toutes ces notions seront appliquées en particulier à la matrice obtenue par discrétisation de l’opérateur Laplacien en dimension un par la méthode des différences finies.
Les travaux dirigés sur ordinateurs se font avec le langage python.

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen

Inférence statistique - Math330 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TD : 30h

Compétences :
Acquérir les notions fondamentales de l’inférence statistique : estimation dans les modèles paramétriques, tests statistiques.
Savoir estimer les paramètres d’une loi, étudier les propriétés mathématiques d’un estimateur, construire des intervalles de confiance.
Savoir traduire une question  simple en un problème de test et y répondre par la construction d’un test approprié.

 

Description :

  • Notion d’échantillon,  estimateurs, méthode empirique.
  • Modèles paramétriques, méthode des moments, méthode du maximum de vraisemblance.
  • Critères de comparaison d’estimateurs, loi des estimateurs, intervalles de confiance.
  • Convergence des estimateurs, étude asymptotique.
  • Tests d’hypothèses : vocabulaire et démarche, lemme de Neyman-Pearson, construction d’un test.
  • Tests dans le modèle gaussien.
  • Tests asymptotiques.
  • Tests du chi2.


 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Responsable :
Mme. MARIE-ANNE POURSAT - marie-anne.poursat@u-psud.fr

Biographie, lectures recommandées : Daudin, Robin et Vuillet. Statistique inférentielle, PUR.
Lejeune. Statistique : la théorie et ses applications, Springer.
Saporta. Probabilités, analyses de données et statistiques, ed. Technip.
Rice. Mathematical Statistics and Data Analysis, 3rd edition

Interprétation statistique des données - Math331 (2 crédits)

X

Volume Horaire : TP : 24h

Compétences :
Visualiser, modéliser, ajuster et interpréter des données réelles ou simulées.
Programmation avec R.
 

Description :
Le programme suivant est mis-en-oeuvre avec le logiciel R :

Représentations graphiques des données, visualisation en dimension 1 et 2.
Estimation d’une densité, d’une fonction de répartition.
Simulation de variables aléatoires, illustration du comportement asymptotique de statistiques.
Méthode de ré-échantillonage bootstrap, interprétation des intervalles de confiance.
Ajustement d’une loi à des données, tests d’ajustement.
Liaison entre deux variables : régression linéaire simple, tests fondés sur le critère du chi2.


 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Responsable :
Mme. MARIE-ANNE POURSAT - marie-anne.poursat@u-psud.fr

Biographie, lectures recommandées : Statistiques avec R, Cornillon et autres, PUR

Algorithmes d'optimisation - Math315 (5 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 18h ; TP : 24h

Description :
Optimisation convexe en dimension finie, en privilégiant des algorithmes d'ordre 1 simples à  
programmer; applications à des problèmes concrets. Les travaux dirigés se font en langage python.

Thèmes abordés :
- Optimisation convexe lisse sans contrainte
- Optimisation convexe non-lisse par régularisation
- Optimisation avec contrainte: Algorithme de gradient projeté
- Dualité convexe
- Algorithme proximal pour la somme de fonctionnelles convexes
- Algorithme de Dykstra (projection sur une intersection de convexes)
- Algorithmes primaux-duaux
 

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Géométrie - Math319 (7 crédits)

X

Volume Horaire : Cours : 30h ; TD : 45h

Compétences :

Description :
Géométrie affine et euclidienne :

  • Exemples de groupes préservant une figure donnée du plan.
  • Espaces affines, sous-espaces affines, intersections, repères.
  • Barycentre.
  • Applications affines, groupe affine, groupe linéaire.
  • Espaces affines euclidiens, isométries, angles en dimension 2 et 3.

Modalités de contrôle :
Contrôle continu et examen.

Biographie, lectures recommandées :

Stage en établissement scolaire - Educ301 (2 crédits)

X